逆ガンマ分布（事後分布）〜正規分布（尤度関数）×逆ガンマ分布（事前分布）

統計科学

一般に、ある確率測度\mathbb{P}の下で、逆ガンマ分布に従う確率変数Xの確率密度関数 f(x; \alpha, \beta)は
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha - 1}\exp\left\{ -\frac{\beta}{x}\right\}
である。

この時、確率変数Xを分散に持つ正規分布N(\mu, X)を尤度関数とし、逆ガンマ分布 f(x; \alpha_0, \beta_0)を事前分布とすると、
確率変数Xの事後確率密度関数は \tilde{f}(x; \alpha, \beta)

\tilde{f}(x; \alpha, \beta) \propto \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left\{ -\frac{(y-\mu)^2}{2x}\right\} \frac{\beta_0^{\alpha_0}}{\Gamma(\alpha_0)} x^{-\alpha_0 - 1}\exp\left\{-\frac{\beta_0}{x}\right\} \propto \frac{1}{x} \exp\left\{ -\frac{(y-\mu)^2}{2x}\right\} x^{-\alpha_0 - 1}\exp\left\{-\frac{\beta_0}{x}\right\} \propto x^{-\alpha_0 - 2} \exp\left\{ -\frac{1}{x}\left( \beta_0 + \frac{1}{2}(y-\mu)^2\right)\right\}
従って、
\alpha = \alpha_0 +1
\beta = \beta_0 + \frac{1}{2}(y-\mu)^2
となり、 \tilde{f}(x; \alpha, \beta)のパラメーターが決定され、かつ、その確率分布自体は逆ガンマ分布となる。すなわち自然共役である。

参考