正規分布（事後分布）〜正規分布（尤度関数）×正規分布（事前分布）

一般に、ある確率測度 $\mathbb{P}$ の下で、正規分布に従う確率変数 $X$ に対し、

であることを仮定したとき、事前分布が共役事前分布となっていることから、事後分布も正規分布 $\mathcal{N}(\hat{\mu}, \hat{\sigma})$ となり、

$\frac{1}{\hat{\sigma}^2} = \frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_0^2}$
$\hat{\mu} = \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma_1^2} \mu_1 + \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2} \mu_0$

が成立する。ただしここで、 $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ は平均 $\mu$ , 分散 $\sigma$ を持つ正規分布を表す。従って、データが $N \in \mathbb{Z}$ 個存在する場合には、上式を再帰的に用いることで

$\frac{1}{\hat{\sigma}^2} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\sigma_i^2} + \frac{1}{\sigma_0^2}$
$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{N} \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma_i^2} \mu_i + \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2} \mu_0$

が成立する。