N個の独立な一様乱数(-1, 1)の和の標準偏差は1/3√N

手計算で確認＆ボケ防止にRでチェック。

sizes <- 2**(1:15)
y <- numeric(length(sizes))
for(i in seq_along(sizes)){
  x <- numeric(10**3)
  for(j in seq_len(10**3)){
    x[j] <- sum(runif(sizes[i], min=-1, max=1))
  }
  y[i] <- sd(x)
}
plot(sizes, y)
lines(sizes, sqrt(1/3*sizes))